Customize Consent Preferences

We use cookies to help you navigate efficiently and perform certain functions. You will find detailed information about all cookies under each consent category below.

The cookies that are categorized as "Necessary" are stored on your browser as they are essential for enabling the basic functionalities of the site. ... 

Always Active

Necessary cookies are required to enable the basic features of this site, such as providing secure log-in or adjusting your consent preferences. These cookies do not store any personally identifiable data.

No cookies to display.

Functional cookies help perform certain functionalities like sharing the content of the website on social media platforms, collecting feedback, and other third-party features.

No cookies to display.

Analytical cookies are used to understand how visitors interact with the website. These cookies help provide information on metrics such as the number of visitors, bounce rate, traffic source, etc.

No cookies to display.

Performance cookies are used to understand and analyze the key performance indexes of the website which helps in delivering a better user experience for the visitors.

No cookies to display.

Advertisement cookies are used to provide visitors with customized advertisements based on the pages you visited previously and to analyze the effectiveness of the ad campaigns.

No cookies to display.

Campus

Pythagoras is nog steeds te bewijzen

De jongste collectie van bewijzen voor de stelling van Pythagoras telt 370 stuks. Geen daarvan komt op naam van Pythagoras zelf. Van hem staat alleen vast dat hij de stelling niet bedacht heeft.

Epsilon Uitgaven is een kleine uitgeverij die gespecialiseerd is in toegankelijke wiskunde, bedoeld voor liefhebbers van het vak op vwo-niveau of hoger. Een paar boeken per jaar wordt uitgebracht door een redactie waarin ook dr. A.H.P. van der Burgh, hoofddocent bij de Delftse wiskundeopleiding, zitting heeft. De uitgaven worden, zoals je mag verwachten van een wiskundige uitgeverij, keurig genummerd.

Deel 53 heet ‘De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras’ en is een van de aardigste van de afgelopen jaren. De eerste vraag die opdoemt is uiteraard waarom iemand een stelling zou willen bewijzen die misschien al drie millennia bij de mensheid bekend is. Nou, zegt Multatuli, ,,dit streven leidt tot helderheid van opvatting, en gewent ons aan duidelijke voorstelling.”

Multatuli? Dat was toch die schrijver van de Max Havelaar en zo? Ja, maar hij was ook een wiskundeliefhebber en bedacht zelf een nieuw bewijs voor de stelling van Pythagoras, met behulp van twee overlappende vierkanten. Althans, hij dacht dat het nieuw was, maar helaas was zijn truc al zeker twee eeuwen bekend. Je kunt het hem niet kwalijk nemen, want hij had wel degelijk een verzamelwerk met bewijzen geraadpleegd. De samensteller daarvan was niet volledig geweest.

Het aardige van de stelling van Pythagoras is natuurlijk dat hij er eenvoudig uit ziet, eenvoudig te bewijzen valt en toch niet al te triviaal is. Juist daarom hebben door de eeuwen heen niet alleen wiskundigen, maar ook geïnteresseerde leken als Multatuli zich met de stelling bezig gehouden. De Amerikaan Elisha Loomis schreef in 1940 het laatste verzamelwerk, dat 370 bewijzen telt. Daarvan worden er in het boek van Epsilon 29 uitgelicht door auteur Bruno Ernst (pseudoniem van J.A.F. de Rijk), die verschillende internationaal gewaardeerde boeken over het werk van M.C. Escher op zijn naam heeft staan.

Ook in dit boek ziet Ernst kans anekdotes en wiskundige uitleg naadloos in elkaar over te laten gaan. De eerlijkheid gebiedt echter te zeggen dat de anekdotes meer boeien dan de wiskunde. Na een hoofdstukje of drie geloof je wel dat het trekken van weer een andere hulplijn op een nog vernuftiger wijze a2+b2=c2 bewijst.

Euklides

Het eerste overgeleverde bewijs van de stelling is niet van Pythagoras, van wie geen geschriften bekend zijn, maar van Euklides, die twee eeuwen later leefde. Uit opgravingen is bovendien bekend dat de stelling al eeuwen voor Pythagoras bekend was. Het bewijs van Euklides is behoorlijk ingewikkeld. Dat komt, vertelt Ernst, omdat de Griekse wiskundige het met zo min mogelijk voorkennis wilde doen.

Tot ver in de twintigste eeuw kregen kinderen op school de versie van Euklides voorgeschoteld. Misschien is het wel frustratie daarover die zoveel mensen aanzette tot het bedenken van eenvoudiger bewijzen. Multatuli deed het, de filosoof Arthur Schopenhauer deed het, de Amerikaanse president James Garfield deed het, en er worden ook bewijzen toegeschreven aanAlbert Einstein en Leonardo da Vinci. Er kwamen in de loop der eeuwen evengoed complexe bewijzen bij, bijvoorbeeld van de hand van de zestienjarige Ann Condit uit South-Bend, Indiana. Ernst zelf komt in zijn boek ook nog met twee nieuwe. Misschien kan redacteur Van der Burgh eens een van zijn studenten aan het werk zetten om een computerprogramma te schrijven dat op commando nieuwe bewijzen vindt.

Het boekje van Bruno Ernst is vooral interessant als document van een fascinatie die al eeuwen duurt en de hele wereld omspant. Die fascinatie toont aan dat het in de wiskunde om meer gaat dan het aan elkaar breien van bewezen stellingen. Het is ook een esthetische belevenis die erom vraagt telkens herbeleefd te worden. Van de gegeneraliseerde stelling van Pythagoras, de stelling van Fermat, bestaat inmiddels welgeteld één bewijs. Dat is behoorlijk ingewikkeld. Wie durft?

Bruno Ernst, ‘De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras’. Uitgeverij Epsilon, 2002, 96 pp., 12,50 euro.

Epsilon Uitgaven is een kleine uitgeverij die gespecialiseerd is in toegankelijke wiskunde, bedoeld voor liefhebbers van het vak op vwo-niveau of hoger. Een paar boeken per jaar wordt uitgebracht door een redactie waarin ook dr. A.H.P. van der Burgh, hoofddocent bij de Delftse wiskundeopleiding, zitting heeft. De uitgaven worden, zoals je mag verwachten van een wiskundige uitgeverij, keurig genummerd.

Deel 53 heet ‘De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras’ en is een van de aardigste van de afgelopen jaren. De eerste vraag die opdoemt is uiteraard waarom iemand een stelling zou willen bewijzen die misschien al drie millennia bij de mensheid bekend is. Nou, zegt Multatuli, ,,dit streven leidt tot helderheid van opvatting, en gewent ons aan duidelijke voorstelling.”

Multatuli? Dat was toch die schrijver van de Max Havelaar en zo? Ja, maar hij was ook een wiskundeliefhebber en bedacht zelf een nieuw bewijs voor de stelling van Pythagoras, met behulp van twee overlappende vierkanten. Althans, hij dacht dat het nieuw was, maar helaas was zijn truc al zeker twee eeuwen bekend. Je kunt het hem niet kwalijk nemen, want hij had wel degelijk een verzamelwerk met bewijzen geraadpleegd. De samensteller daarvan was niet volledig geweest.

Het aardige van de stelling van Pythagoras is natuurlijk dat hij er eenvoudig uit ziet, eenvoudig te bewijzen valt en toch niet al te triviaal is. Juist daarom hebben door de eeuwen heen niet alleen wiskundigen, maar ook geïnteresseerde leken als Multatuli zich met de stelling bezig gehouden. De Amerikaan Elisha Loomis schreef in 1940 het laatste verzamelwerk, dat 370 bewijzen telt. Daarvan worden er in het boek van Epsilon 29 uitgelicht door auteur Bruno Ernst (pseudoniem van J.A.F. de Rijk), die verschillende internationaal gewaardeerde boeken over het werk van M.C. Escher op zijn naam heeft staan.

Ook in dit boek ziet Ernst kans anekdotes en wiskundige uitleg naadloos in elkaar over te laten gaan. De eerlijkheid gebiedt echter te zeggen dat de anekdotes meer boeien dan de wiskunde. Na een hoofdstukje of drie geloof je wel dat het trekken van weer een andere hulplijn op een nog vernuftiger wijze a2+b2=c2 bewijst.

Euklides

Het eerste overgeleverde bewijs van de stelling is niet van Pythagoras, van wie geen geschriften bekend zijn, maar van Euklides, die twee eeuwen later leefde. Uit opgravingen is bovendien bekend dat de stelling al eeuwen voor Pythagoras bekend was. Het bewijs van Euklides is behoorlijk ingewikkeld. Dat komt, vertelt Ernst, omdat de Griekse wiskundige het met zo min mogelijk voorkennis wilde doen.

Tot ver in de twintigste eeuw kregen kinderen op school de versie van Euklides voorgeschoteld. Misschien is het wel frustratie daarover die zoveel mensen aanzette tot het bedenken van eenvoudiger bewijzen. Multatuli deed het, de filosoof Arthur Schopenhauer deed het, de Amerikaanse president James Garfield deed het, en er worden ook bewijzen toegeschreven aanAlbert Einstein en Leonardo da Vinci. Er kwamen in de loop der eeuwen evengoed complexe bewijzen bij, bijvoorbeeld van de hand van de zestienjarige Ann Condit uit South-Bend, Indiana. Ernst zelf komt in zijn boek ook nog met twee nieuwe. Misschien kan redacteur Van der Burgh eens een van zijn studenten aan het werk zetten om een computerprogramma te schrijven dat op commando nieuwe bewijzen vindt.

Het boekje van Bruno Ernst is vooral interessant als document van een fascinatie die al eeuwen duurt en de hele wereld omspant. Die fascinatie toont aan dat het in de wiskunde om meer gaat dan het aan elkaar breien van bewezen stellingen. Het is ook een esthetische belevenis die erom vraagt telkens herbeleefd te worden. Van de gegeneraliseerde stelling van Pythagoras, de stelling van Fermat, bestaat inmiddels welgeteld één bewijs. Dat is behoorlijk ingewikkeld. Wie durft?

Bruno Ernst, ‘De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras’. Uitgeverij Epsilon, 2002, 96 pp., 12,50 euro.

Redacteur Redactie

Heb je een vraag of opmerking over dit artikel?

delta@tudelft.nl

Comments are closed.