Pythagoras is nog steeds te bewijzen

Epsilon Uitgaven is een kleine uitgeverij die gespecialiseerd is in toegankelijke wiskunde, bedoeld voor liefhebbers van het vak op vwo-niveau of hoger. Een paar boeken per jaar wordt uitgebracht door een redactie waarin ook dr. A.H.P. van der Burgh, hoofddocent bij de Delftse wiskundeopleiding, zitting heeft. De uitgaven worden, zoals je mag verwachten van een wiskundige uitgeverij, keurig genummerd.

Deel 53 heet ‘De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras’ en is een van de aardigste van de afgelopen jaren. De eerste vraag die opdoemt is uiteraard waarom iemand een stelling zou willen bewijzen die misschien al drie millennia bij de mensheid bekend is. Nou, zegt Multatuli, ,,dit streven leidt tot helderheid van opvatting, en gewent ons aan duidelijke voorstelling.”

Multatuli? Dat was toch die schrijver van de Max Havelaar en zo? Ja, maar hij was ook een wiskundeliefhebber en bedacht zelf een nieuw bewijs voor de stelling van Pythagoras, met behulp van twee overlappende vierkanten. Althans, hij dacht dat het nieuw was, maar helaas was zijn truc al zeker twee eeuwen bekend. Je kunt het hem niet kwalijk nemen, want hij had wel degelijk een verzamelwerk met bewijzen geraadpleegd. De samensteller daarvan was niet volledig geweest.

Het aardige van de stelling van Pythagoras is natuurlijk dat hij er eenvoudig uit ziet, eenvoudig te bewijzen valt en toch niet al te triviaal is. Juist daarom hebben door de eeuwen heen niet alleen wiskundigen, maar ook geïnteresseerde leken als Multatuli zich met de stelling bezig gehouden. De Amerikaan Elisha Loomis schreef in 1940 het laatste verzamelwerk, dat 370 bewijzen telt. Daarvan worden er in het boek van Epsilon 29 uitgelicht door auteur Bruno Ernst (pseudoniem van J.A.F. de Rijk), die verschillende internationaal gewaardeerde boeken over het werk van M.C. Escher op zijn naam heeft staan.

Ook in dit boek ziet Ernst kans anekdotes en wiskundige uitleg naadloos in elkaar over te laten gaan. De eerlijkheid gebiedt echter te zeggen dat de anekdotes meer boeien dan de wiskunde. Na een hoofdstukje of drie geloof je wel dat het trekken van weer een andere hulplijn op een nog vernuftiger wijze a2+b2=c2 bewijst.

Euklides

Het eerste overgeleverde bewijs van de stelling is niet van Pythagoras, van wie geen geschriften bekend zijn, maar van Euklides, die twee eeuwen later leefde. Uit opgravingen is bovendien bekend dat de stelling al eeuwen voor Pythagoras bekend was. Het bewijs van Euklides is behoorlijk ingewikkeld. Dat komt, vertelt Ernst, omdat de Griekse wiskundige het met zo min mogelijk voorkennis wilde doen.

Tot ver in de twintigste eeuw kregen kinderen op school de versie van Euklides voorgeschoteld. Misschien is het wel frustratie daarover die zoveel mensen aanzette tot het bedenken van eenvoudiger bewijzen. Multatuli deed het, de filosoof Arthur Schopenhauer deed het, de Amerikaanse president James Garfield deed het, en er worden ook bewijzen toegeschreven aanAlbert Einstein en Leonardo da Vinci. Er kwamen in de loop der eeuwen evengoed complexe bewijzen bij, bijvoorbeeld van de hand van de zestienjarige Ann Condit uit South-Bend, Indiana. Ernst zelf komt in zijn boek ook nog met twee nieuwe. Misschien kan redacteur Van der Burgh eens een van zijn studenten aan het werk zetten om een computerprogramma te schrijven dat op commando nieuwe bewijzen vindt.

Het boekje van Bruno Ernst is vooral interessant als document van een fascinatie die al eeuwen duurt en de hele wereld omspant. Die fascinatie toont aan dat het in de wiskunde om meer gaat dan het aan elkaar breien van bewezen stellingen. Het is ook een esthetische belevenis die erom vraagt telkens herbeleefd te worden. Van de gegeneraliseerde stelling van Pythagoras, de stelling van Fermat, bestaat inmiddels welgeteld één bewijs. Dat is behoorlijk ingewikkeld. Wie durft?

Bruno Ernst, ‘De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras’. Uitgeverij Epsilon, 2002, 96 pp., 12,50 euro.

Epsilon Uitgaven is een kleine uitgeverij die gespecialiseerd is in toegankelijke wiskunde, bedoeld voor liefhebbers van het vak op vwo-niveau of hoger. Een paar boeken per jaar wordt uitgebracht door een redactie waarin ook dr. A.H.P. van der Burgh, hoofddocent bij de Delftse wiskundeopleiding, zitting heeft. De uitgaven worden, zoals je mag verwachten van een wiskundige uitgeverij, keurig genummerd.

Deel 53 heet ‘De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras’ en is een van de aardigste van de afgelopen jaren. De eerste vraag die opdoemt is uiteraard waarom iemand een stelling zou willen bewijzen die misschien al drie millennia bij de mensheid bekend is. Nou, zegt Multatuli, ,,dit streven leidt tot helderheid van opvatting, en gewent ons aan duidelijke voorstelling.”

Multatuli? Dat was toch die schrijver van de Max Havelaar en zo? Ja, maar hij was ook een wiskundeliefhebber en bedacht zelf een nieuw bewijs voor de stelling van Pythagoras, met behulp van twee overlappende vierkanten. Althans, hij dacht dat het nieuw was, maar helaas was zijn truc al zeker twee eeuwen bekend. Je kunt het hem niet kwalijk nemen, want hij had wel degelijk een verzamelwerk met bewijzen geraadpleegd. De samensteller daarvan was niet volledig geweest.

Het aardige van de stelling van Pythagoras is natuurlijk dat hij er eenvoudig uit ziet, eenvoudig te bewijzen valt en toch niet al te triviaal is. Juist daarom hebben door de eeuwen heen niet alleen wiskundigen, maar ook geïnteresseerde leken als Multatuli zich met de stelling bezig gehouden. De Amerikaan Elisha Loomis schreef in 1940 het laatste verzamelwerk, dat 370 bewijzen telt. Daarvan worden er in het boek van Epsilon 29 uitgelicht door auteur Bruno Ernst (pseudoniem van J.A.F. de Rijk), die verschillende internationaal gewaardeerde boeken over het werk van M.C. Escher op zijn naam heeft staan.

Ook in dit boek ziet Ernst kans anekdotes en wiskundige uitleg naadloos in elkaar over te laten gaan. De eerlijkheid gebiedt echter te zeggen dat de anekdotes meer boeien dan de wiskunde. Na een hoofdstukje of drie geloof je wel dat het trekken van weer een andere hulplijn op een nog vernuftiger wijze a2+b2=c2 bewijst.

Euklides

Het eerste overgeleverde bewijs van de stelling is niet van Pythagoras, van wie geen geschriften bekend zijn, maar van Euklides, die twee eeuwen later leefde. Uit opgravingen is bovendien bekend dat de stelling al eeuwen voor Pythagoras bekend was. Het bewijs van Euklides is behoorlijk ingewikkeld. Dat komt, vertelt Ernst, omdat de Griekse wiskundige het met zo min mogelijk voorkennis wilde doen.

Tot ver in de twintigste eeuw kregen kinderen op school de versie van Euklides voorgeschoteld. Misschien is het wel frustratie daarover die zoveel mensen aanzette tot het bedenken van eenvoudiger bewijzen. Multatuli deed het, de filosoof Arthur Schopenhauer deed het, de Amerikaanse president James Garfield deed het, en er worden ook bewijzen toegeschreven aanAlbert Einstein en Leonardo da Vinci. Er kwamen in de loop der eeuwen evengoed complexe bewijzen bij, bijvoorbeeld van de hand van de zestienjarige Ann Condit uit South-Bend, Indiana. Ernst zelf komt in zijn boek ook nog met twee nieuwe. Misschien kan redacteur Van der Burgh eens een van zijn studenten aan het werk zetten om een computerprogramma te schrijven dat op commando nieuwe bewijzen vindt.

Het boekje van Bruno Ernst is vooral interessant als document van een fascinatie die al eeuwen duurt en de hele wereld omspant. Die fascinatie toont aan dat het in de wiskunde om meer gaat dan het aan elkaar breien van bewezen stellingen. Het is ook een esthetische belevenis die erom vraagt telkens herbeleefd te worden. Van de gegeneraliseerde stelling van Pythagoras, de stelling van Fermat, bestaat inmiddels welgeteld één bewijs. Dat is behoorlijk ingewikkeld. Wie durft?

Bruno Ernst, ‘De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras’. Uitgeverij Epsilon, 2002, 96 pp., 12,50 euro.