Ballenverstand

Als je een proefpersoon vier driehoekjes geeft en je vraagt hem om deze aan elkaar te plakken, dan heb je grote kans dat hij er een puntige bal van maakt, een piramidevorm. Maar er zijn meer mogelijkheden, want met een beetje buigen kan een torusvorm ook. Als je de proefpersoon nu honderdduizendmiljoen driehoekjes geeft, dan wordt het plakwerk wel erg ingewikkeld. Hoe kun je dan nog zien of hij een puntige bal heeft gemaakt? Om deze vraag te beantwoorden vond Poincaré de fundamentaalgroep uit: als die nul is, dan heb je een puntige bal. Hij vermoedde dat dit ook gold voor driedimensionale ballen, maar bewijzen kon hij dat niet. Perelman kan dat nu dus wel.

In de vorige eeuw hebben verschillende wiskundige zwaargewichten gezocht naar een bewijs. De briljante Griek Papakyriakopoulos wijdde er vanaf 1960 zijn leven aan. Hij werkte vijftien jaar aaneen eenzaam opgesloten in een bibliotheek en stierf temidden van een berg aantekeningen. Daarna probeerde Wolfgang Haken het. Om te voorkomen dat hij krankzinnig werd, loste Haken uiteindelijk maar ter afleiding het vierkleurenprobleem op. Een wetenschapper raakt wel eens verstrikt in zijn eigen gedachten, maar een wiskundige die van ballen verstand heeft loopt een verhoogd risico.

Eind 2002 circuleerde het gerucht dat Perelman, een Petersburgse kluizenaar, het vermoeden van Poincaré had gekraakt. Ik vroeg aan Krystyna Kuperberg wat zij er van wist. Krystyna is een vooraanstaande specialist en haar zoon werkt samen met William Thurston, op wiens inzichten het bewijs van Perelman is gebaseerd. “Enkele experts zijn het aan het lezen, ze denken dat het goed is, maar ze hebben nog niet alles begrepen”, zei Krystyna. Anno 2006 denken de experts steeds sterker dat het bewijs klopt, maar het definitieve oordeel is nog niet geveld. Tot afschuw van Perelman. Zijn bewijs telt een kleine duizend pagina’s en is misschien wel het moeilijkste wiskundige resultaat ooit. Details ervan zijn uitgewerkt door anderen en hebben geleid tot nog vele honderden wiskundige pagina’s extra. En zo stuit de wiskunde op de onvolledigheidsstelling van Fröbel: er bestaan ware beweringen waarvan de bewijzen te lang zijn om door mensenhanden te worden opgetekend.

Robbert Fokkink

Grigori Perelman heeft het vermoeden van Poincaré opgelost, één van de bekendste problemen uit de wiskunde. Rond 1900 bestudeerde Henri Poincaré welke vormen je kunt bouwen met driehoekjes. Als je een proefpersoon vier driehoekjes geeft en je vraagt hem om deze aan elkaar te plakken, dan heb je grote kans dat hij er een puntige bal van maakt, een piramidevorm. Maar er zijn meer mogelijkheden, want met een beetje buigen kan een torusvorm ook. Als je de proefpersoon nu honderdduizendmiljoen driehoekjes geeft, dan wordt het plakwerk wel erg ingewikkeld. Hoe kun je dan nog zien of hij een puntige bal heeft gemaakt? Om deze vraag te beantwoorden vond Poincaré de fundamentaalgroep uit: als die nul is, dan heb je een puntige bal. Hij vermoedde dat dit ook gold voor driedimensionale ballen, maar bewijzen kon hij dat niet. Perelman kan dat nu dus wel.

In de vorige eeuw hebben verschillende wiskundige zwaargewichten gezocht naar een bewijs. De briljante Griek Papakyriakopoulos wijdde er vanaf 1960 zijn leven aan. Hij werkte vijftien jaar aaneen eenzaam opgesloten in een bibliotheek en stierf temidden van een berg aantekeningen. Daarna probeerde Wolfgang Haken het. Om te voorkomen dat hij krankzinnig werd, loste Haken uiteindelijk maar ter afleiding het vierkleurenprobleem op. Een wetenschapper raakt wel eens verstrikt in zijn eigen gedachten, maar een wiskundige die van ballen verstand heeft loopt een verhoogd risico.

Eind 2002 circuleerde het gerucht dat Perelman, een Petersburgse kluizenaar, het vermoeden van Poincaré had gekraakt. Ik vroeg aan Krystyna Kuperberg wat zij er van wist. Krystyna is een vooraanstaande specialist en haar zoon werkt samen met William Thurston, op wiens inzichten het bewijs van Perelman is gebaseerd. “Enkele experts zijn het aan het lezen, ze denken dat het goed is, maar ze hebben nog niet alles begrepen”, zei Krystyna. Anno 2006 denken de experts steeds sterker dat het bewijs klopt, maar het definitieve oordeel is nog niet geveld. Tot afschuw van Perelman. Zijn bewijs telt een kleine duizend pagina’s en is misschien wel het moeilijkste wiskundige resultaat ooit. Details ervan zijn uitgewerkt door anderen en hebben geleid tot nog vele honderden wiskundige pagina’s extra. En zo stuit de wiskunde op de onvolledigheidsstelling van Fröbel: er bestaan ware beweringen waarvan de bewijzen te lang zijn om door mensenhanden te worden opgetekend.

Robbert Fokkink